Funkcja stała jako specyficzny przypadek funkcji jednocześnie rosnącej i malejącej - analiza i przykład

Rodzaj zadania: Analiza

Dodane: 13.09.2023 o 6:42

Z dzisiejszych zajęć matematycznych dowiedziałem się, że funkcja, która jest jednocześnie rosnąca i malejąca, to funkcja stała. Rozważmy przykład: niech funkcja f na zbiorze liczb rzeczywistych będzie zdefiniowana następująco: f(x) = 5 dla każdego x należącego do zbioru liczb rzeczywistych.

Określmy, co oznacza, że funkcja jest rosnąca. Mówimy, że funkcja f jest rosnąca na danym przedziale, jeżeli dla każdych dwóch liczb x i y z tego przedziału, jeśli x < y, to f(x) ≤ f(y). Jeżeli weźmiemy dowolne dwie liczby x i y takie, że x < y, to mamy f(x) = 5 i f(y) = 5. Ponieważ 5 jest równe 5, mówimy, że nasza funkcja f jest rosnąca na całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Podobnie, funkcja f jest malejąca, jeżeli dla każdych dwóch liczb x i y takie, że x < y, mamy, że f(x) ≥ f(y). Jeżeli weźmiemy dowolne dwie liczby x i y takie, że x < y, to mamy f(x) = 5 i f(y) = 5. Ponieważ 5 jest również równe 5, mówimy, że nasza funkcja f jest malejąca na całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Jako że nasza funkcja spełnia zarówno warunki dla funkcji rosnących jak i malejących, to przypuszczalnie można by ją nazwać zarówno rosnącą, jak i malejącą. Ale lepszym terminem technicznym dla takiej funkcji byłoby "funkcja stała", ponieważ jej wartość jest taka sama dla dowolnego x w jej dziedzinie.

Wnioskiem z powyższych obserwacji jest to, że funkcja f, która jest zarówno rosnąca jak i malejąca na danym przedziale, musi być funkcją stałą na tym przedziale.