Związki funkcji trygonometrycznych

Przedmiot: Matematyka

Dodane: 25.10.2023 o 18:52

Związki między funkcjami trygonometrycznymi są opisane poprzez różne wzory, które pozwalają na przekształcanie jednej funkcji trygonometrycznej na inną. Te wzory są często wykorzystywane do uproszczenia zadań związanych z liczeniem wartości funkcji trygonometrycznych, rozwiązywaniem równań czy udowadnianiem równości.

Najczęściej spotykanymi związkami pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi są:

- Twierdzenie Pitagorasa: a^2 + b^2 = c^2, gdzie a, b i c to odpowiednie długości boków trójkąta prostokątnego, a a to długość przyprostokątnej, której przeciwprostokątną zazwyczaj oznaczamy jako c.

- Funkcje trygonometryczne podstawowe: - sinα = a/c, gdzie α to dany kąt ostrego, a c to długość przeciwprostokątnej - cosα = b/c, gdzie α to dany kąt ostrego, a b to długość przyprostokątnej - tgα = a/b, gdzie α to dany kąt ostrego, a b to długość przyprostokątnej - ctgα = b/a, gdzie α to dany kąt ostrego, a b to długość przyprostokątnej - Związki między funkcjami trygonometrycznymi: - secα = 1/cosα - cscα = 1/sinα - cotα = 1/tgα = cosα/sinα - sin²α + cos²α = 1 - 1 + tg²α = sec²α - 1 + ctg²α = csc²α - sin(α±β) = sinα*cosβ ± cosα*sinβ - cos(α±β) = cosα*cosβ ∓ sinα*sinβ - tg(α±β) = (tgα ± tgβ) / (1 ∓ tgα*tgβ) - ctg(α±β) = (ctgα*ctgβ ∓ 1) / (ctgβ ± ctgα) - sin2α = 2*sinα*cosα - cos2α = cos²α - sin²α = 2*cos²α - 1 = 1 - 2*sin²α

Te związki umożliwiają nam przeliczanie jednych funkcji na inne, rozwiązywanie równań trygonometrycznych czy skracanie liczb podczas obliczeń. Są one ściśle związane z własnościami trójkątów prostokątnych i okręgu jednostkowego.