Dziedzina wyrażeń wymiernych – przykłady i warunki dla x

Rodzaj zadania: Zadanie domowe

Dodane: wczoraj o 11:52

Zadanie dotyczy wyrażeń wymiernych, które są kluczowym elementem algebry. W wyrażeniach tych dzielenie przez zero jest niedozwolone, co nakłada określone ograniczenia na wartości, jakie może przyjmować zmienna. Analizując konkretne przykłady wyrażeń wymiernych, nauczymy się, jak określać dziedzinę, upraszczać wyrażenia i rozwiązywać związane z nimi problemy.

Wyrażenia wymierne

a) Wyrażenie: (x + 2) / (3x - 6)

Aby określić dziedzinę tego wyrażenia, należy znaleźć wartości zmiennej x, dla których mianownik nie jest równy zeru. Mianownik to \(3x - 6\). Ustalmy, dla jakiej wartości x jest on równy zeru:

\[ 3x - 6 = \\ 3x = 6 \\ x = 2 \]

Mianownik przyjmuje wartość zerową, gdy x = 2. Dziedziną wyrażenia są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz x = 2. Formalnie można to zapisać jako:

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \{2\} \]

b) Wyrażenie: 3x / (2x^2 - 8)

Podobnie jak wcześniej, szukamy wartości zmiennej x, dla których mianownik jest zerem:

\[ 2x^2 - 8 = \\ 2x^2 = 8 \\ x^2 = 4 \\ x = 2 \text{ lub } x = -2 \]

Dziedziną tego wyrażenia są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz x = 2 oraz x = -2. Formalnie:

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \{2, -2\} \]

c) Wyrażenie: (x^2 + 2) / (x^2 - 5x + 4)

Mianownik to trójmian kwadratowy. Poszukajmy jego pierwiastków:

\[ x^2 - 5x + 4 = \\ \]

Rozkład:

\[ (x - a)(x - b) = \\ a + b = 5 \\ ab = 4 \]

Pierwiastki są 4 i 1, ponieważ:

\[ 4 + 1 = 5 \\ 4 \cdot 1 = 4 \]

Zatem:

\[ x^2 - 5x + 4 = (x - 4)(x - 1) \]

Mianownik jest zerem dla x = 4 oraz x = 1, więc dziedzina:

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \{1, 4\} \]

Uwzględnienie dodatkowych warunków: x ≠ oraz x ≠ -1

- Dla (x + 2) / (3x - 6): dodajemy x ≠ oraz x ≠ -1 do wcześniej znalezionej dziedziny. - Dla 3x / (2x^2 - 8): również dodajemy x ≠ oraz x ≠ -1 do naszych ograniczeń. - Dla (x^2 + 2) / (x^2 - 5x + 4): także dodajemy te ograniczenia.

Finalne dziedziny to:

- (x + 2) / (3x - 6): \(x \in \mathbb{R} \setminus \{2, , -1\}\) - 3x / (2x^2 - 8): \(x \in \mathbb{R} \setminus \{2, -2, , -1\}\) - (x^2 + 2) / (x^2 - 5x + 4): \(x \in \mathbb{R} \setminus \{1, 4, , -1\}\)

Upraszczanie wyrażenia

\[ \frac{x^2 - 1}{x} : \left(x + \frac{1}{x^2}\right) \]

Krok 4: Upraszczanie wyrażenia

Najpierw wyrażenie \((x^2 - 1) / x\) można przedstawić jako \((x-1)(x+1) / x\).

Podział przez \((x + 1) / x^2\) to mnożenie przez odwrotność tego wyrażenia:

\[ \frac{(x-1)(x+1)}{x} \cdot \frac{x^2}{x + 1} \] \[ = \frac{(x-1)(x+1) \cdot x^2}{x \cdot (x + 1)} \]

Uproszczając wyrażenie:

\[ = \frac{(x-1) \cdot x^2}{x} \] \[ = (x-1) \cdot x \] \[ = x^2 - x \]

Stąd wyrażenie można przekształcić do postaci \(x^2 - x\).

Podsumowanie

Bibliografia

Załącznik