Dziedzina, monotoniczność i wykres funkcji fx log1/2 x-1 3 oraz jej miejsce zerowe

Przedmiot: Matematyka

Dodane: 19.10.2023 o 19:31

Określ dziedzinę i monotoniczność funkcji fx log1/2 x-1 3. Naszkicuj jej wykres i podaj miejsce zerowe. Aby rozwiązać to zadanie, najpierw musimy określić dziedzinę funkcji oraz jej monotoniczność.

Funkcja to f(x) = log(1/2x - 1) + 3.

Dziedziną funkcji logarytmicznych jest zbiór liczb rzeczywistych większych od zera, dlatego mamy ograniczenie dla argumentu 1/2x - 1 > .

Rozwiązując to ograniczenie, otrzymujemy:

1/2x - 1 > 1/2x > 1 x > 2.

Dlatego dziedziną funkcji f(x) jest zbiór liczb rzeczywistych większych niż 2.

Teraz określimy monotoniczność funkcji. Aby to zrobić, musimy obliczyć pochodną funkcji f'(x).

f'(x) = 1/(1/2x - 1) * (1/2) * 1/x^2.

Aby obliczyć miejsce zerowe pochodnej, musimy rozwiązać równanie f'(x) = :

1/(1/2x - 1) * (1/2) * 1/x^2 = .

Mianownik nie może być równy zeru, dlatego równanie 1/2x - 1 = nie ma rozwiązań.

Możemy zauważyć, że pochodna jest zawsze dodatnia dla x > 2, ponieważ wszystkie składniki są dodatnie. Oznacza to, że funkcja jest monotonicznie rosnąca w tej dziedzinie.

Możemy teraz naszkicować wykres funkcji f(x). Ponieważ mamy informację o dziedzinie i monotoniczności, wiemy, że wykres będzie rosnący po prawej stronie 2.

Miejsce zerowe funkcji to punkt, w którym wartość funkcji wynosi zero. Aby je znaleźć, musimy rozwiązać równanie f(x) = :

log(1/2x - 1) + 3 = .

Przenosimy 3 na drugą stronę równania:

log(1/2x - 1) = -3.

Teraz musimy przekształcić równanie do postaci, w której będzie można sprowadzić je do potęgowania i rozwiązać je:

1/2x - 1 = 10^(-3).

Przenosimy -1 na drugą stronę równania:

1/2x = 10^(-3) + 1.

Mnożymy obie strony przez 2x:

1 = (10^(-3) + 1) * 2x.

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy wartość x, która jest miejscem zerowym funkcji f(x).

Podsumowując, dziedziną funkcji f(x) = log(1/2x - 1) + 3 jest zbiór liczb rzeczywistych większych niż 2, funkcja jest monotonicznie rosnąca na tej dziedzinie. Miejsce zerowe funkcji można obliczyć rozwiązując równanie log(1/2x - 1) + 3 = .