Funkcja kwadratowa – postać ogólna i kanoniczna, wykres oraz własności

Ta praca została zweryfikowana przez naszego nauczyciela: 14.02.2026 o 12:46

Rodzaj zadania: Wypracowanie

Dodane: 12.02.2026 o 8:26

Funkcja kwadratowa jest istotnym elementem nauki matematyki w polskich szkołach średnich. Jej poznanie pozwala zrozumieć wiele bardziej złożonych zagadnień matematycznych oraz ma praktyczne zastosowania w życiu codziennym i naukach przyrodniczych. W tym opracowaniu przedstawię podstawowe informacje dotyczące funkcji kwadratowej w postaci ogólnej i kanonicznej, zaprezentuję jej wykres oraz opiszę najważniejsze własności tej funkcji.

Funkcja kwadratowa w postaci ogólnej wyrażona jest wzorem \( f(x) = ax^2 + bx + c \), gdzie \( a, b, c \) to liczby rzeczywiste, a \( a \neq \). Kluczowym elementem tej postaci jest współczynnik \( a \). Jeśli \( a > \), parabola otwiera się do góry, natomiast dla \( a < \) – w dół. Współczynnik \( b \) wpływa na położenie wierzchołka paraboli na osi X, natomiast \( c \) jest punktem przecięcia wykresu z osią Y.

Reprezentowanie funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej upraszcza analizę jej własności. Postać kanoniczna to \( f(x) = a(x - p)^2 + q \), gdzie \( (p, q) \) to współrzędne wierzchołka paraboli. Wartości \( p \) i \( q \) można wyznaczyć za pomocą następujących wzorów:

\[ p = -\frac{b}{2a} \] \[ q = -\frac{\Delta}{4a} \] gdzie \( \Delta = b^2 - 4ac \) jest wyróżnikiem funkcji kwadratowej.

Aby lepiej zrozumieć, jak wygląda funkcja kwadratowa i jej wykres, rozważmy przykład funkcji \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \). W tym przypadku mamy \( a = 2 \), \( b = -4 \), \( c = 1 \).

Obliczmy wyróżnik:

\[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8 \]

Teraz wyznaczmy \( p \) i \( q \):

\[ p = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 \] \[ q = -\frac{8}{4 \times 2} = -1 \]

Postać kanoniczna tej funkcji to zatem \( f(x) = 2(x - 1)^2 - 1 \), a wierzchołek znajduje się w punkcie \( (1, -1) \).

Warto teraz przedstawić wykres tej funkcji. Ponieważ \( a = 2 > \), parabola otwiera się do góry. Wartość \( c = 1 \) wskazuje, że wykres przecina oś Y w punkcie (, 1). Miejsca zerowe funkcji można znaleźć, rozwiązując równanie \( 2x^2 - 4x + 1 = \) przy użyciu wzoru kwadratowego:

\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Funkcja przecina oś X w punktach: \( x_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \) oraz \( x_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Analizując własności tej funkcji, zauważamy, że wartość najmniejsza występuje w wierzchołku paraboli (1, -1), co wynika z faktu, że \( a > \), a więc parabola otwiera się do góry i ma jedno minimum. Funkcja ta nie ma wartości maksymalnej, gdyż jej ramiona rozciągają się w nieskończoność. Symetria wykresu względem osi przechodzącej przez wierzchołek, w tym przypadku \( x = 1 \), jest jedną z kluczowych cech funkcji kwadratowych.

Podsumowanie wszystkich powyższych informacji pozwala stwierdzić, że zrozumienie postaci ogólnej i kanonicznej funkcji kwadratowej, a także tworzenie i analiza jej wykresu, to fundamentalne umiejętności matematyczne. Wykresy te dostarczają cennych wizualnych informacji o miejscach zerowych, punktach przecięcia z osiami oraz wartościach ekstremalnych, co jest nieocenione w analizie i rozwiązywaniu bardziej złożonych problemów matematycznych.