Jak oblicza się funkcję kanoniczną?
Rodzaj zadania: Zadanie domowe
Dodane: dzisiaj o 15:21
Streszczenie:
Poznaj, jak obliczyć funkcję kanoniczną krok po kroku i naucz się wyznaczać wierzchołek funkcji kwadratowej w prosty sposób. 🎓
Temat: Jak oblicza się funkcję kanoniczną?
Funkcja kwadratowa jest jedną z podstawowych funkcji matematycznych, która znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, takich jak fizyka, ekonomia, czy inżynieria. Aby w pełni zrozumieć jej właściwości, musimy umieć przekształcać funkcje kwadratowe do różnych form, w tym do formy kanonicznej. W tym artykule wyjaśnię, jak oblicza się funkcję kanoniczną, krok po kroku.
Rozpocznijmy od ogólnej formy funkcji kwadratowej, która jest opisana wzorem: \[ f(x) = ax^2 + bx + c, \] gdzie \(a \neq \), \(b\) oraz \(c\) są stałymi liczbami rzeczywistymi.
Funkcja kanoniczna, zwana także formą wierzchołkową funkcji kwadratowej, ma postać: \[ f(x) = a(x - p)^2 + q, \] gdzie \((p, q)\) to współrzędne wierzchołka paraboli.
Aby przekształcić funkcję kwadratową z formy ogólnej do kanonicznej, możemy skorzystać z metody nazywanej "dokompletowania kwadratu". Proces ten obejmuje kilka jasno określonych kroków:
Krok 1: Wyciągnięcie współczynnika \(a\) przed nawias
Funkcję kwadratową z ogólnej formy przekształcamy, wyciągając współczynnik \(a\) przed nawias. Na przykład:\[ f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{staje się} \quad f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c. \]
Krok 2: Dokompletowanie kwadratu
Teraz dokompletujemy kwadrat w nawiasie. W tym celu dodajemy i odejmujemy wyraz, który umożliwi utworzenie pełnego kwadratu trójmianu kwadratowego w postaci \((x - d)^2\). Aby to zrobić, dodajemy i odejmujemy wartość \(\left( \frac{b}{2a} \right)^2\):\[ f(x) = a \left[ x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \right] + c. \]
Teraz trójmian w nawiasie można zapisać w postaci kwadratu sumy:
\[ f(x) = a \left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \right] + c \]
Krok 3: Uproszczenie wyrażenia
Następnie rozdzielamy wyrażenie, pamiętając o współczynniku \(a\):\[ f(x) = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - a \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + c. \]
Po obliczeniu drugiego składnika:
\[ a \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{ab^2}{4a^2} = \frac{b^2}{4a}, \]
co daje:
\[ f(x) = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c. \]
Krok 4: Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka
Współczynnik \(\frac{b}{2a}\) to przesunięcie wierzchołka paraboli wzdłuż osi X, zaś wyrażenie \(\frac{b^2}{4a}\) oraz stała \(c\) pozwalają na ustalenie położenia wierzchołka na osi Y. Możemy teraz zapisać funkcję w kanonicznej formie wierzchołkowej:\[ f(x) = a\left( x - \left( -\frac{b}{2a} \right) \right)^2 + \left( c - \frac{b^2}{4a} \right), \]
czyli:
\[ f(x) = a\left( x - p \right)^2 + q, \]
gdzie:
\[ p = -\frac{b}{2a} \]
oraz
\[ q = c - \frac{b^2}{4a}. \]
W związku z tym współrzędne wierzchołka paraboli wynoszą: \[ (p, q) = \left( -\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a} \right). \]
Praktyczny przykład:
Rozważmy funkcję kwadratową w formie ogólnej: \[ f(x) = 2x^2 + 8x + 3. \]Wyciągamy współczynnik 2 przed nawias: \[ f(x) = 2(x^2 + 4x) + 3. \]
Dokompletujemy kwadrat: \[ f(x) = 2 \left( x^2 + 4x + 4 - 4 \right) + 3, \]
co daje: \[ f(x) = 2 \left( (x + 2)^2 - 4 \right) + 3. \]
Następnie rozdzielamy wyrażenie: \[ f(x) = 2(x + 2)^2 - 8 + 3, \]
czyli: \[ f(x) = 2(x + 2)^2 - 5. \]
Ostateczna forma kanoniczna to: \[ f(x) = 2(x + 2)^2 - 5, \]
a współrzędne wierzchołka paraboli wynoszą \((-2, -5)\).
Oceń:
Zaloguj się aby ocenić pracę.
Zaloguj się