Zadania z ciągów liczbowych: wyrazy ciągu równe 2, liczba wyrazów większych od -143, wyznaczenie wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego
Rodzaj zadania: Zadanie domowe
Dodane: wczoraj o 11:36
Streszczenie:
Poznaj rozwiązania zadań z ciągów liczbowych: znajdź wyrazy równe 2, liczbę wyrazów większych od -143 oraz wzór ogólny ciągu arytmetycznego.
Poniżej przedstawiam szczegółowe rozwiązanie zadań domowych dotyczących ciągów arytmetycznych i kwadratowych wraz z pełnymi obliczeniami oraz uzasadnieniami dla każdego punktu. Odpowiedzi zostały opracowane w sposób wyczerpujący, aby zaspokoić wymagania formalne i dydaktyczne.
Zadanie 1
Treść zadania: Które wyrazy ciągu \( a_n = n^2 - 7n + 12 \) są równe 2?Rozwiązanie:
Aby znaleźć wartości \( n \), dla których wyrazy ciągu są równe 2, musimy rozwiązać równanie:
\[ n^2 - 7n + 12 = 2 \]
Przenosimy liczbę 2 na lewą stronę równania:
\[ n^2 - 7n + 12 - 2 = \] \[ n^2 - 7n + 10 = \]
Jest to równanie kwadratowe, które możemy teraz rozwiązać na dwa sposoby: poprzez rozkład na czynniki lub przez zastosowanie wzorów kwadratowych.
Rozkład na czynniki: \[ n^2 - 7n + 10 = (n - 5)(n - 2) = \]
Stąd mamy dwa rozwiązania: \[ n_1 = 5 \] \[ n_2 = 2 \]
Odpowiedź: Wyrazy ciągu \( a_n \) równe 2 to \( a_2 \) i \( a_5 \).
---
Zadanie 2
Treść zadania: Ustal liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego o wzorze ogólnym \( a_n = 2 - 5n \), które są większe od -143.Rozwiązanie:
Sprawdźmy kilka początkowych wartości, aby lepiej zrozumieć ciąg:
\[ a_1 = 2 - 5 \cdot 1 = -3 \] \[ a_2 = 2 - 5 \cdot 2 = -8 \] \[ a_3 = 2 - 5 \cdot 3 = -13 \]
Chcemy znaleźć liczbę \( n \), dla których \( a_n > -143 \):
\[ 2 - 5n > -143 \] \[ 2 + 143 > 5n \] \[ 145 > 5n \] \[ 29 > n \]
Zatem liczba wartości \( n \), które spełniają tę nierówność, to \( n = 1, 2, ..., 28 \). Stąd wynika, że:
Odpowiedź: Liczba wyrazów ciągu, które są większe od -143, wynosi 28.
---
Zadanie 3
Treść zadania: Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego \( (a_n) \), jeśli wiadomo, że \( a_7 = 13 \) i \( a_{13} = 7 \).Rozwiązanie:
Przypomnijmy wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\[ a_n = a_1 + (n - 1)r \]
Gdzie \( a_1 \) to pierwszy wyraz ciągu, \( r \) to różnica ciągu.
Mamy dwie informacje: 1. \( a_7 = a_1 + 6r = 13 \) 2. \( a_{13} = a_1 + 12r = 7 \)
Możemy teraz wykorzystać te dwa równania, aby znaleźć \( r \):
\[ (a_1 + 12r) - (a_1 + 6r) = 7 - 13 \] \[ 6r = -6 \] \[ r = -1 \]
Podstawiamy wartość \( r \) do pierwszego równania:
\[ a_1 + 6(-1) = 13 \] \[ a_1 - 6 = 13 \] \[ a_1 = 19 \]
Zatem:
\[ a_n = 19 + (n - 1)(-1) \] \[ a_n = 19 - (n - 1) \] \[ a_n = 20 - n \]
Odpowiedź: Wzór ogólny ciągu to \( a_n = 20 - n \).
---
Zadanie 4
Treść zadania: Wyznacz takie liczby \( x, y, z \), aby ciąg był arytmetyczny.a) \( 5, x, y, z, 10 \)
b) \( x, 5, y, 10, z \)
Część a
Oznaczmy różnicę ciągu jako \( r \):Ciąg: \( 5, x, y, z, 10 \)
Ostatni wyraz możemy zapisać jako:
\[ 10 = 5 + 4r \] \[ 10 - 5 = 4r \] \[ 5 = 4r \] \[ r = \frac{5}{4} \]
Teraz możemy wyznaczyć \( x, y, z \):
\[ x = 5 + r = 5 + \frac{5}{4} = \frac{25}{4} \]
\[ y = 5 + 2r = 5 + 2 \cdot \frac{5}{4} = 5 + \frac{10}{4} = 5 + \frac{5}{2} = \frac{15}{2} \]
\[ z = 5 + 3r = 5 + 3 \cdot \frac{5}{4} = 5 + \frac{15}{4} = \frac{35}{4} \]
Odpowiedź: \( x = \frac{25}{4}, y = \frac{15}{2}, z = \frac{35}{4} \).
Część b
Ciąg: \( x, 5, y, 10, z \)Również zastosujemy wzory dla wyrazów znajdujących się w ciągu arytmetycznym:
- \( 5 = x + r \) - \( y = x + 2r \) - \( 10 = x + 3r \) - \( z = x + 4r \)
Wyznaczając równania:
Z pierwszego równania: \[ r = 5 - x \]
Podstawiając tę wartość do czwartego równania:
\[ z = x + 4(5 - x) = x + 20 - 4x = 20 - 3x \]
Z trzeciego równania: \[ 10 = x + 3r \] \[ 10 = x + 3(5 - x) \] \[ 10 = x + 15 - 3x \] \[ 10 = 15 - 2x \] \[ 2x = 15 - 10 \] \[ 2x = 5 \] \[ x = \frac{5}{2} \]
Podstawiając tę wartość w pozostałych wyrażeniach:
\[ r = 5 - \frac{5}{2} = \frac{10}{2} - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} \] \[ y = x + 2r = \frac{5}{2} + 2 \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2} + 5 = \frac{5 + 10}{2} = \frac{15}{2} \] \[ z = 20 - 3x = 20 - 3 \cdot \frac{5}{2} = 20 - \frac{15}{2} = \frac{40 - 15}{2} = \frac{25}{2} \]
Odpowiedź: \( x = \frac{5}{2}, y = \frac{15}{2}, z = \frac{25}{2} \).
---
Zadanie 5
Treść zadania: W ciągu arytmetycznym \( (a_n) \) suma wyrazów o numerach 17 i 81 jest równa -282, a suma wyrazów o numerach 42 i 68 wynosi -322. Oblicz \( a_{90} + a_{47} \).Rozwiązanie:
Z wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:
\( a_n = a_1 + (n-1)r \)
Pierwsze równanie dla sumy wyrazów o numerach 17 i 81: \[ a_{17} + a_{81} = -282 \] \[ (a_1 + 16r) + (a_1 + 80r) = -282 \] \[ 2a_1 + 96r = -282 \] \[ a_1 + 48r = -141 \] - równanie (1)
Drugie równanie dla sumy wyrazów o numerach 42 i 68: \[ a_{42} + a_{68} = -322 \] \[ (a_1 + 41r) + (a_1 + 67r) = -322 \] \[ 2a_1 + 108r = -322 \] \[ a_1 + 54r = -161 \] - równanie (2)
Odejmując od siebie równania:
\[ (a_1 + 54r) - (a_1 + 48r) = -161 - (-141) \] \[ 6r = -20 \] \[ r = -\frac{10}{3} \]
Podstawiamy wartość \( r \) do równania (1):
\[ a_1 + 48(-\frac{10}{3}) = -141 \] \[ a_1 - 160 = -141 \] \[ a_1 = 19 \]
Obliczamy \( a_{90} \) i \( a_{47} \):
\[ a_{90} = 19 + 89(-\frac{10}{3}) = 19 - \frac{890}{3} = 19 - 296\frac{2}{3} = -277\frac{2}{3} \] \[ a_{47} = 19 + 46(-\frac{10}{3}) = 19 - \frac{460}{3} = 19 - 153\frac{1}{3} = -134\frac{1}{3} \]
Suma:
\[ a_{90} + a_{47} = -277\frac{2}{3} + (-134\frac{1}{3}) = -277\frac{2}{3} - 134\frac{1}{3} = -412 \]
Odpowiedź: \( a_{90} + a_{47} = -412 \)
Oceń:
Zaloguj się aby ocenić pracę.
Zaloguj się