Sinus jednego z kątów ostrych trójkąta prostokątnego jest równy √6/3 Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 12. Oblicz długości pozostałych boków tego trójkąta

Rodzaj zadania: Wypracowanie

Dodane: 18.10.2023 o 20:36

W celu obliczenia długości pozostałych boków tego trójkąta, skorzystam z faktu, że sinus kąta ostry jest równy stosunkowi przeciwnego przyprostokątnego do przeciwprostokątnej.

Oznaczmy przeciwprostokątną jako c, a przyprostokątne jako a i b. Na podstawie podanych danych, mamy sin(α) = √6/3. Znając ten stosunek i długość przeciwprostokątnej, możemy wyznaczyć długość przyprostokątnych.

Zauważmy, że sin(α) = √6/3 = c/b. Zatem możemy zapisać równanie: √6/3 = c/12.

Przekształcamy to równanie, żeby wyznaczyć c: c = 12 * (√6/3) = 4 * √6.

Teraz skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa, które mówi nam, że suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Mamy a^2 + b^2 = c^2. Podstawiamy wartości: a^2 + b^2 = (4 * √6)^2 = 16 * 6 = 96.

Wiedząc, że c = 12, możemy obliczyć długość przyprostokątnej:

a^2 + b^2 = 96, a = √(96 - b^2).

Podstawiamy tę wartość do równania sin(α) = a/c:

(√(96 - b^2))/12 = √6/3.

Przekształcamy to równanie: (√(96 - b^2)) = 4.

Kwadratując obie strony równania: 96 - b^2 = 16, b^2 = 80.

Ponownie korzystamy z twierdzenia Pitagorasa, aby obliczyć długość drugiej przyprostokątnej:

a^2 + b^2 = 96, a^2 + 80 = 96, a^2 = 16, a = 4.

Podsumowując, długości pozostałych boków tego trójkąta prostokątnego wynoszą: a = 4 i b = √80.

Odpowiedź: Długości pozostałych boków trójkąta prostokątnego wynoszą a = 4 i b = √80.